1. Multiples of 3 and 5

https://projecteuler.net/problem=1

Problem 1 - Project Euler

 

문제는 다음과 같습니다.

If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.

Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.

 

자연수 1000 밑에 있는, 3과 5의 배수들의 합을 구하라는 문제입니다. 단순히 생각하면, 정수 변수에 3과 5의 배수들을 더해나가면 되지 않느냐 라는 생각이 듭니다. 하지만, 그렇게 문제를 풀기에는 3과 5의 최소 공통 배수인 15의 배수들이 2번씩 더해져서 정답보다 값이 커지게 됩니다. 해당 사항을 주의 한다면 다음과 같은 방식으로 풀 수 있을 것입니다.

 

1. 1에서 1000까지를 반복하는 반복문 안에 "3 혹은 5의 배수일 경우"라는 조건문을 이용하여 값을 더해가는 방식
2. 1에서 1000까지의 3, 5, 15의 배수들을 각각 구한 후, "3의배수 + 5의배수 - 15의 배수"를 구하는 방식

 

1. 

이 방식은 그렇게 어렵진 않습니다. 다음과 같이 그냥 반복문과 조건문을 한번씩만 사용해 주면 되니까 입니다.

sum=0
i=0

for i in range(1,1000) :
    if i % 3 == 0 or i % 5 == 0 :
        sum += i

print(sum)

 

 

2. 

이 방식은 약간 더 생각을 할 필요가 있습니다. 각각의 배수의 합을 구하는 방식에 따라 다르게 구현할 수 있기 때문입니다.

아래의 방식은 해당 문제를 풀고 난 후, 볼 수 있는 OverView를 참조하여 적었습니다.

 

  (1) 배수..?

정수 n ∈ Z 의 배수는 다음 조건을 만족시키는 정수 m ∈ Z 이다.

 m = nk 인 정수 k ∈ Z 가 존재한다.

(일부 문헌에서는 n ≠ 0을 가정하기도 한다.)

 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%B0%EC%88%98

 

  (2) 배수의 집합..?

정수 n ∈ Z 의 배수의 집합은 다음과 같다.

nZ= { nk:k ∈ Z } = { ..., -3n, -2n, -n, 0, n, 2n, 3n, ...} 

 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%B0%EC%88%98

 

 (3) 배수의 합...?

(2)에서도 나와 있듯이, 배수의 집합은 아래와 같이 표현할 수도 있습니다.

    nZ = n x { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 

 

위와 시그마의 합공식을 참고하여 배수의 합을 생각해 본다면 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.

 

1000 미만의 n의 배수 : n x ( p ( p+1 ) ) / 2, ( p = 999 / n )

 

여기서 p는 문제에서 주어진 범위를 계산하기 위해 넣은 변수입니다. 문제에서의 범위는 1000 미만이기 때문에, "999 / n"으로 정한 것입니다. 그리고, p는 내림을 한 정수여야 합니다.

 

이에 대해 간단히 설명해 보면 다음과 같습니다.

 

      20 미만의 3과 5의 배수의 집합

    1) 3의 배수의 집합의 갯수 : { 3, 6, 9, 12, 15, 18} = 3 x { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 6개 = 19 / 3 ≒ 6

    2) 5의 배수의 집합의 갯수 : { 5, 10, 15 } = 3 x { 1, 2, 3 }, 3개 = 19 / 5 ≒ 3

 

 

  (4) 코드

 

위를 종합하여 작성한 코드는 다음과 같습니다.

target = 999

def sumDivisibleBy(n) :
    p = int(target / n)
    return n * ( p * (p+1) / 2)

res = sumDivisibleBy(3) + sumDivisibleBy(5) - sumDivisibleBy(15)

print(res)